Теорема Кэли

Любая $n$-элементная группа изоморфна некоторой подгруппе группы $S_n$.

Пусть $(G, \cdot)$ — произвольная группа, $|G| = n$. Заменим $S_n$ на изоморфную группу $S_G$ перестановок элементов множества $G$. Поскольку из $ba = ca$ в группе влечет $b = c$, то функция $f_a\mathpunct{:}~~ f_a(x) = xa$ является перестановкой множества $G$, т.е. $f_a \in S_G$. Пусть отображение $\phi\mathpunct{:}~~ G \to S_G$ задано правилом $\phi(a) = f_a$. Из $f_a(x) = f_b(x) \implies xa = xb \implies a = b$, следует, что $\phi$ — инъекция, а значит, биекция $G$ на $\phi(G)$. Для любых $a, b, x \in G$ выполняется $(f_a \circ f_b)(x) = f_b(xa) = xab = f_{ab}(x)$, следовательно $\phi(a) \circ \phi(b) = \phi(ab)$, то есть $\phi$ сохраняет умножение. Так как $f_1 = \Delta$ (тождественная перестановка на $G$), то $\phi$ сохраняет нейтральный элемент. Также для любых $a, x \in G$ выполняется $(f_{a^{-1}} \circ f_a)(x) = xa^{-1}a = x = f_1(x)$, следовательно $\phi$ сохраняет обратные элементы. Итак, $\phi$ — биекция $G$ на $\phi(G)$, сохраняющая все операции группы; попутно мы выяснили, что $\phi(G)$ замкнуто относительно операций группы $S_G$, т.е. является подгруппой. Следовательно, $\phi$ — изоморфизм. $\square$